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高中化学竞赛辅导专题讲座----三维化学----第一节正方体与正四面体
作者:佚名 文章来源:不详 点击数: 更新时间:2013-2-16 7:48:48

       近年来,无论是高考,还是全国竞赛,涉及空间结构的试题日趋增多,成为目前的热点之一。本文将从最简单的五种空间正多面体开始,与大家一同探讨中学化学竞赛中与空间结构有关的内容。

       在小学里,我们就已经系统地学习了正方体,正方体(立方体或正六面体)有六个完全相同的正方形面,八个顶点和十二条棱,每八个完全相同的正方体可构成一个大正方体。正四面体是我们在高中立体几何中学习的,它有四个完全相同的正三角形面,四个顶点和六条棱。那么正方体和正四面体间是否有内在的联系呢?请先让我们看下面一个例题吧:

       【例题1】常见有机分子甲烷的结构是正四面体型的,请计算分子中碳氢键的键角(用反三角函数表示)

       【分析】在化学中不少分子是正四面体型的,如CH4、CCl4、NH4、  SO42……它们的键角都是109º28’,那么这个值是否能计算出来呢?

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图1-3
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图1-1      图1-2
如果从数学的角度来看,这是一个并不太难的立体几何题,首先我们把它抽象成一个立体几何图形(如图1-1所示),取CD中点E,截取面ABE(如图1-2所示),过A、B做AF⊥BE,BG⊥AE,AF交BG于O,那么   ∠AOB就是所求的键角。我们只要找出AO(=BO)与AB的关系,再用余弦定理,就能圆满地解决例题1。当然找出AO和AB的关系还是有一定难度的。先把该题放下,来看一题初中化学竞赛题:

【例题2】CH4分子在空间呈四面体形状,1个C原子与4个H原子各共用一对电子对形成4条共价键,如图1-3所示为一个正方体,已画出1个C原子(在正方体中心)、1个H原子(在正方体顶点)和1条共价键(实线表示),请画出另3个H原子的合适位置和3条共价键,任意两条共价键夹角的余弦值为      

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图1-4
【分析】由于碳原子在正方体中心,一个氢原子在顶点,因为碳氢键是等长的,那么另三个氢原子也应在正方体的顶点上,正方体余下的七个顶点可分成三类,三个为棱的对侧,三个为面对角线的对侧,一个为体对角线的对侧。显然三个在面对角线对侧上的顶点为另三个氢原子的位置。

【解答】答案如图1-4所示。

【小结】从例题2中我们发现:在正四面体中八个顶点中不相邻的四个顶点(不共棱)可构成一个正四面体,正四面体的棱长即为正方体的棱长的倍,它们的中心是互相重合的。

【分析】回到例题1,将正四面体ABCD放入正方体中考虑,设正方体的边长为1,则AB为面对角线长,即,AO为体对角线长的一半,即/2,由余弦定理得cosα=(AO2+BO2-AB2)/2AO·BO=-1/3

【解答】甲烷的键角应为 π-arccos1/3

【练习1】已知正四面体的棱长为,计算它的体积。

【讨论】利用我们上面讲的思想方法,构造一个正方体,那么正四面体就相当于正方体削去四个正三棱锥(侧面为等腰直角三角形),V正四面体=a3-4×(1/6)×a3

若四面体相对棱的棱长分别相等,为a、b、c,求其体积。

我们也只需构造一个长方体,问题就迎刃而解了。

【练习2】平面直角坐标系上有三个点(a1,b1)、(a2,b2)、(a3,b3)求这三个点围成的三角形的面积。

【讨论】通过上面的构造思想,你能构造何种图形来解决呢?是矩形吧!怎样表达面积呢?你认为下面的表达式是否写得有道理?

S=(max{a1,a2,a3}-min{a1,a2,a3})×(max{b1,b2,b3}-min{b1,b2,b3})-

【练习3】在正四面体中体心到顶点的距离是到底面距离的几倍,能否用物理知识去理解与解释这一问题呢?

【讨论】利用物理中力的正交分解来解决这一问题,在平面正三角形中,从中心向顶点构造三个大小相等,夹角为120º的力F1、F2、F3。设F1在x轴正向,F2、F3进行正交分解在x、y轴上,在x轴上的每一个分力与F1相比就相当于中心到底面与到顶点距离之比,而两个分力之和正好与F1抵消,即大小相等。显然中心到顶点距离应为到底边距离的2倍。




    ●



  ● Si ○ C

图1-5

在空间,构造四个力Fi(i=1,2,3,4),F1在x轴正向(作用点与坐标原点重合),F2、F3、F4分解在与x轴与yz面上,yz面上三个力正好构成正三角形,而在x轴(负向)上有三个分力,其之和与F1抵消,想想本题答案应为3吗?当然这个问题用体积知识也是易解决的。

让我们再回到正题,从上面的例题1,2中,我们了解了正四面体与正方体的关系,虽然这是一个很浅显易懂的结论,但我们还是应该深刻理解和灵活应用,帮助我们解决一些复杂的问题。先请再来看一个例题吧:

【例题3】SiC是原子晶体,其结构类似金刚石,为C、Si两原子依次相间排列的正四面体型空间网状结构。如图1-5所示为两个中心重合,各面分别平行的大小两个正方体,其中心为一Si原子,试在小正方体的顶点上画出与该Si最近的C的位置,在大正方体的棱上画出与该Si最近的Si的位置。两大小正方体的边长之比为_______;Si—C—Si的键角为______(用反三角函数表示);若Si—C键长为a cm,则大正方体边长为_______cm;SiC晶体的密度为________g/cm3。(NA为阿佛加德罗常数,相对原子质量 C.12 Si.28)

【分析】正方体中心已给出了一个Si原子,那么与Si相邻的四个C原子则在小正方体不相邻的四个顶点上,那么在大正方体上应画几个Si原子呢?我们知道每个碳原子也应连四个硅原子,而其中一个必为中心的硅原子,另外还剩下4×3=12个硅原子,这12个点应落在大正方体上。那么这12个又在大正方体的何处呢?

前文介绍正方体时曾说正方体有12条棱,是否每一条棱上各有一个碳原子?利用对称性原则,这12个硅原子就应落在各棱的中点。让我们来验证一下假设吧。

过大正方体的各棱中心作截面,将大正方体分割成八个小正方体,各棱中点、各面心、顶点、中心构成分割后正方体的顶点。原来中心的硅原子就在分割后八个正方体的顶点上了,由于与一个碳原子相邻的四个硅原子是构成一个正四面体的。利用例2的结论,分割后的正方体上另三个硅原子的位置恰为原来大正方体的棱心(好好想一想)。那么碳原子又在分割后的正方体的哪里呢,毫无疑问,在中心。那么是否每个分割后的正方体的中心都有碳原子呢?这是不可能的,因为只有四个碳原子,它们应该占据在不相邻的四个正方体的中心。碳原子占据四个硅原子构成的最小正四面体空隙的几率为1/2,那么反过来碳原子占据碳原子四面体空隙的几率又是多少呢?也1/2吧,因为在空间,碳硅两原子是完全等价的,全部互换它们的位置,晶体是无变化的。

我们可以把大正方体看成SiC晶体的一个基本重复单位,那么小正方体(或分割后的小正方体)能否看成一个基本重复单位呢?这是不行的,因为有的小正方体中心是有原子的,而有些是没有的。

大小两个正方体的边长应是2:1吧,至于键角也就不必再说了。最后还有一个密度问题,我们将留在第二节中去分析讨论。

文本框:  
图1-6
【解答】如图1-6所示(碳原子在小正方体不相邻的四个顶点上,硅原子在大正方体的十二条棱的中点上)  2:1  arcos (-1/3)  4/3  15/2NAa3

【练习4】金刚石晶体是正四面体型的空间网状结构,课本上的金刚石结构图我们很难理解各原子的空间关系,请用我们刚学的知识将金刚石结构模型化。

【练习5】在例题3中,如果在正方体中心不画出Si原子,而在小正方体和大正方体上依旧是分别画上C原子和Si原子,应该怎么画呢?

【讨论】还是根据例题3 的分析,在例题3中,将大正方体分割成小正方体后,我们所取的四个点在大正方体上是棱心和体心,那么我们是否可以取另外四个点呢?它们在大正方体中又在何位置呢?与原来的位置(棱心+体心)有什么关系呢?

【练习参考答案】

1.

2.该表达式是正确的;

3.3倍

4.只需将例题3中将Si原子变成C原子,就是我们所需的金刚石结构模型,大正方体就是金刚石的晶胞(下文再详述)。

5.可以取另外四个点,C原子的位置无变化,Si原子在大正方体的面心和顶点上(这不就是山锌矿的晶胞吗?下文再详述);与原来的位置正好相差了半个单位,即只需将原来的大正方体用一水平面分成两等份,将下面部分平移到上面一部分的上面接上即可。

本文不着重探讨其中涉及纯理论的内容,大家可参考相应的竞赛书籍和大学教材。



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